Я разложила на столе восемь бежевых кусочков. Попросила Федю достать из коробки столько же коричневых прямоугольничков. Действия Федора: посчитал бежевые кусочки и продолжил в эту же линию выкладывать коричневые, обнулив счёт. Коричневые кусочки Федя стал пересчитывать отдельно: " один, два.... восемь". Остановился на восьми, хотя в коробке ещё были коричневые прямоугольники. Следуя пояснению Жана Пиаже, казалось бы, можно сделать вывод, что Федюша достиг третьей стадии развития в формировании понятия числа. Ему не важно визуальное соотнесение первого и второго вида кусочков, не значимо их расположение относительно друг друга. Федя ориентируется в сравнении количества только на счёт. Но есть определенные тонкости в этом моменте, о которых Пиаже говорит: "дети должны уловить принцип сохранения количества, прежде чем они могут образовать понятие числа. Но, конечно, сохранение количества само по себе не является числовым понятием; это скорее логическое понятие. Так эти опыты из области детской психологии бросают некоторый свет на эпистемологию понятия числа, которое являлось предметом исследования". Получается, что Федя следовал в своих расчетах определенной математической логике, но результат опыта ещё не говорит об окончании формирования у ребёнка устойчивого, объемного понятия числа. 

Я сижу за столом напротив Феди. Между нами стена гор, сделанная из бумаги. Мы оба видим эту гряду во взаимно обратной перспективе. Прошу Федюшу выбрать из нескольких рисунков один, соответствующий его собственному виду горной гряды, и один – ее виду с моей позиции (сижу напротив него). Федя выбирает верный рисунок, контур гор на котором соответствует его видению в настоящий момент. Сев на моё место, Федя всё равно выбрал рисунок, соответствующий его точке дислокации. Маленькие дети думают, что все точки зрения подобны их собственной. Это пример эгоцентричности мышления детей, мешающей им принять, что может быть более чем одна точка зрения. В первое мгновение Федя выбрал вариант, соответствующий моей точке зрения, но быстро поменял решение. Своё первоначальное восприятие оказалось настолько стабильным, устойчивым и приоритетным. Этот опыт доказывает, что восприятие пространства для ребенка гораздо более сложная вещь, чем математический счёт. 

На низком детском стульчике мною построена башня из жёлтых цилиндров. Прошу Федю построить на другом стуле (более высоком, о чем я умалчиваю) такую же по высоте красную башню. Снабжаю Федю измерительными инструментами: сантиметровой лентой (ранее проведен инструктаж и измерения ряда предметов), деревянными штангами с делениями на дециметры. Сантиметровая лента оказалась слишком сложным инструментом. Мы проводили замеры башен совместными усилиями. Со штангами Ф. И. отлично управился сам. Примечательно, что с их помощью Федя заметил погрешность в наших измерениях сантиметром. Ведь сантиметр мягкий, изгибающийся. А штанги абсолютно прямые. Числовые штанги позволили Федору самостоятельно и точно определить о незначительной разнице в высоте башен. Рада, что Федор согласился участвовать в этом действительно трудном для него опыте. Слова Жана Пиаже объясняют данный факт: "измерение развивается позднее, чем понятие числа, потому что труднее разделить непрерывное целое на взаимозаменяемые единицы, чем перечислить уже разделенные элементы". Когда мы приложили к красной башне сантиметровую ленту и считали вслух каждый сантиметр, Федя мог увидеть, но, скорее всего, не осознал делимость башни на элементы, в данном случае, на сантиметры. Башня - некое непрерывное целое, которое мы разделили, просто приложив ленту с делениями и озвучив каждую часть числами от 1 до 27. Красную башню измеряли подобным образом, обнаружив сходство высоты, выраженное одним числом. 

Точка на листе На листе слева я нарисовала точку. Задача Феди - нарисовать на соседнем листе точку в точно таком же месте. Можно использовать средства для измерений. Сначала Федюша взял верёвочку. Но потом отложил её. Затем приложил линейку. Но не измерял ею, а просто положил на лист. Точку нарисовал ювелирно точно. Очень близко к оригиналу. Федя ориентировался в основном на своё зрение и опыт в рисовании. Никогда ранее такая задача не ставилась перед ребенком. 

Получается, что в этом эксперименте Федя показал высокий результат без использования измерительных приборов. Ребенку для выполнения задачи хватило визуальной оценки местоположения точки на листе слева и умения скопировать её на другой лист. Высокая степень схожести положения точек говорит о развитом глазомере Фёдора, его способности адекватно оценивать ситуацию и смело реализовывать поставленную задачу в быстром действии. 

Разделить измерение на горизонтальное и вертикальное Федя пока не может. Никогда этого не делал. Не владея понятиями высоты и ширины листа, позволяющими получить точные координаты точки, тем не менее, ребёнок на 90 процентов справился с задачей. Каким образом? 

Налицо владение свёрнутым навыком. Неужели это умение мы отработали в рисовании? Опыт у Феди внушительный, около четырёх лет с карандашом и кистью в руках. В счастливые моменты творчества я делилась с Федюшей своим опытом восприятия окружающего мира. Передавала информацию не только словами, но и жестами, мимикой, эмоциями. Произошло Утончение чувств, не выверенное умом, а вдохновлённое радостью постижения. 

На расстоянии метра я поставила два деревянных брусочка. Задача Феди -выстроить максимально ровный заборчик. Федюша быстро понял задачу и справился с ней достаточно хорошо. Хотя забор не идеально ровный и имеет изгибы. Могу сделать вывод, что ребёнок достаточно хорошо видит топологические закономерности окружающего пространства. Элементы забора у Феди связаны отношением близости и проекцией линии. Волнистость говорит нам о ещё не сформированном окончательно навыке строить проекции. Восприятие проективных структур находится у мальчика в стадии развития. 

Замечу, что понимание перспективы и умение ее передать в натюрморте, пейзаже - разные вещи. Кроме знаний в этом вопросе важен талант. Интересно, что в разные времена художники следовали определенной моде в передаче перспективы. Русские иконы создавались по определённым канонам. Один из них - обратная перспектива, когда объекты при удалении увеличиваются, а точка схода линий - зритель. Такое намеренное искажение пространства - уникальный изобразительный приём. 

Благодаря обратной перспективе у зрителя создаётся ощущение, что лик святого обращён именно к нему. Это настоящее волшебство, когда чувствуешь на себе взгляд, устремлённый на тебя из глубины веков. "Большой вклад в понимание обратной перспективы сделал академик Борис Раушенбах. Он решал проблему точности стыковки космических кораблей. В этих поисках он изучал перспективу в живописи — и в том числе в иконе. 

Эксперименты показали, что в реальности мы видим перспективу не совсем так, как нам кажется. При взгляде вдаль работает прямая перспектива, но, если предмет рядом с нами, глаз дает искажение, напоминающее обратную перспективу. Дети во всех странах, в любых культурах чаще всего рисуют предметы в обратной перспективе. Есть мнение, что у детей угол искажения еще выше, чем у взрослых. Так же изображали мир наивные художники, которым не рассказали про прямую" (искусствовед Анастасия Мамаева "Русская иконопись"). 

 Современная традиция предполагает применение художниками в своих работах законов прямой перспективы. "Напомним, что прямая перспектива — это когда все объекты уменьшаются по мере отдаления от зрителя и линии сходятся в одной точке на горизонте. Прямую перспективу открыли художники эпохи Возрождения только в 15 веке. Им помогла в этом камера обскура — прообраз фотоаппарата. Тогда это было в новинку, и художники использовали прямую перспективу во всех картинах, постепенно делая ее привычной. Нам сегодня кажется, что мир выглядит именно так, а все другие варианты ошибочны. 

Однако до Возрождения о прямой перспективе не знали. Даже античное искусство, которое стремилось к передаче реальности, не смогло вывести законы «правильной» перспективы, хотя попытки были" (Анастасия Мамаева). 

Детские рисунки, за исключением работ учащихся художественных школ, ярко демонстрируют нам отсутствие у ребенка представлений о прямой перспективе. Объекты на дальнем плане детского рисунка не меньше, чем объекты, близкие к нам. Словно ребенок подчеркивает их равноправие вне зависимости от расстояния. В детском рисунке приоритет отдан смысловой нагрузке предмета, расположение в пространстве второстепенно. 

Между двумя игрушечными машинками, находящимися друг от друга в полуметре, предложила Феде возвести стену из блоков. Задала вопрос: "Находятся ли машинки на таком же расстоянии друг от друга, как и до возведения стены?" Федюша стал сравнить руками две части расстояния. До стены, и после. Мера длины - ладошка. Анализировал, какое расстояние больше, какое меньше. Обнаружил, что слева расстояние от машины до стены меньше, чем справа. Стена словно заблокировала у ребенка возможность видеть общее расстояние между объектами. Затем применил трафарет в качестве измерительного прибора. На мой вопрос Федя так и не смог ответить. 

Дети младше семи лет не доходят до принципа сохранения длины. Мышление ещё не созрело до таких обобщений. Но Федя по-своему решил задачу. Не растерялся. Только в возрасте около семи лет дети приходят к пониманию того, что промежуточные элементы (стена) не меняют расстояние между предметами. Интересно, почему первые геометрические открытия, по мнению Пиаже, являются топологическими? 

Полагаю, потому что ребенок ощущает своё нахождение в пространстве и с интересом анализирует окружающую его обстановку. В доме достаточно много пространств: спальня, игровая комната, обеденный зал, прихожая, ванная комната. А сколько открытий ждёт малыша на улице! Двор, детская площадка, небо с летящим вдали самолётиком. "Интересно, почему самолетик такой маленький?», - наверняка думает ребенок. Опыты с пространством наиболее интенсивно, по моим наблюдениям, проходят в возрасте от 4 до 7 лет. Вспоминаю своё детство. В доме мы прятались под стол, закрывать со всех сторон покрывалами. Неожиданное уменьшение пространства дарило ощущение тайны, загадочности. 

Есть ещё одна любимая игра с пространством, когда дети получают возможность ощутить себя Гулливером. Просто обожали с подружками смотреть через дырочку в коробочку, а в коробочке был целый мир! Стены коробочки обклеены обоями, миниатюрная игрушечная мебель, персонажи... 

Мы создавали сюжеты, события в этом крошечном мире. А завораживала нас именно игра с пространством. Через отверстие в крышке и в стене проникал солнечный свет. Созданный нами мир оживал. Чудо. Опыты Жана Пиаже, проведенные с Федей, позволили осветить глубокие мыслительные процессы. Потенциал маленького ребёнка в освоении математических понятий удивителен и хрупок. Лишь бережное и грамотное отношение взрослых может помочь детям максимально развить свои математические способности.